\chapter{比内公式的经典推导及其在轨道力学中的应用\\——从牛顿定律到圆锥曲线轨道}
\author{李国斌}
\date{2025.08.22-09.13}

% 定义定理环境
\newtheorem{axiom}{公理}[section]
\newtheorem{definition}{定义}[section]
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}{引理}[theorem]
\newtheorem{corollary}{推论}[theorem]
\renewcommand{\proofname}{证明}

	\begin{abstract}
		比内公式（Binet's Equation）是经典轨道力学中的核心微分方程，它直接由牛顿万有引力定律导出，并蕴含了开普勒第一定律的全部内容。本文旨在遵循经典力学的传统，从第一性原理出发，详尽且严格地推导比内公式。推导过程始于牛顿运动定律在极坐标下的表达，通过巧妙地引入变量代换 $u = 1/r$ 和角动量守恒定律，将径向运动方程转化为关于角度变量的二阶常微分方程。最终求解该方程，即可得到描述所有圆锥曲线轨道的统一表达式。本文的推导凸显了角动量守恒在简化中心力场问题中的关键作用，并展示了如何从平方反比引力定律自然导出圆锥曲线的几何性质。
		
		\textbf{关键词：} 比内公式，轨道力学，二体问题，牛顿引力定律，圆锥曲线，微分方程
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在经典力学中，二体问题占据着基础性的地位。艾萨克·牛顿爵士在其巨著《自然哲学的数学原理》中证明了，在平方反比引力作用下，天体的轨道必然是圆锥曲线（椭圆、抛物线或双曲线），这一结论成为验证万有引力理论的关键。然而，牛顿的几何证明对于现代读者而言略显晦涩。
	
	法国数学家雅克·菲利普·玛丽·比耐(Jacques Philippe Marie Binet,1786.02.02–1856.05.12)提供了一个更为简洁优美的分析证明，其核心是一个关于变量 $u(\theta) = 1/r(\theta)$ 的二阶微分方程，即比内公式。该公式不仅可以直接导出轨道方程，还适用于其他类型的中心力场。本文旨在呈现一条清晰、严谨的推导路径，深入剖析从牛顿矢量定律到标量轨道方程的数学精髓。
	
	\section{预备知识}
	\subsection{公理与定义}
	\begin{axiom}[牛顿运动第二定律]
		质点动量随时间的变化率等于其所受的合外力：
		\begin{equation}
			\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \vec{a}
		\end{equation}
	\end{axiom}
	
	\begin{axiom}[牛顿万有引力定律]
		两个质点之间存在相互吸引力，其大小与两者质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，方向沿两质点的连线：
		\begin{equation}
			\vec{F} = -G \frac{m M}{r^2} \hat{r}
		\end{equation}
		其中 $G$ 为万有引力常数，$\hat{r}$ 为从力心指向质点的单位矢量。
	\end{axiom}
	
	\begin{definition}[平面极坐标]
		对于在平面内运动的质点，其位置可由极坐标 $(r, \theta)$ 描述。其位矢、速度、加速度可表示为：
		\begin{align}
			\vec{r} &= r \hat{r} \\
			\vec{v} &= \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta} \\
			\vec{a} &= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) \hat{\theta}
		\end{align}
		其中 $\hat{r}$ 和 $\hat{\theta}$ 分别为径向和横向单位矢量。
	\end{definition}
	
	\subsection{角动量守恒引理}
	\begin{lemma}[角动量守恒]
		在任意中心力场 $\vec{F} = F(r) \hat{r}$ 中，质点相对于力心的角动量 $\vec{L}$ 守恒。
	\end{lemma}
	\begin{proof}
		角动量的定义为 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$。对其求导：
		\begin{equation}
			\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{v} \times (m\vec{v}) + \vec{r} \times \vec{F}
		\end{equation}
		第一项 $\vec{v} \times \vec{v} = 0$。第二项中，由于 $\vec{F}$ 是中心力，$\vec{F} \parallel \vec{r}$，故 $\vec{r} \times \vec{F} = 0$。因此：
		\begin{equation}
			\frac{d\vec{L}}{dt} = 0
		\end{equation}
		证得角动量矢量 $\vec{L}$ 为常矢量。其直接推论是质点的运动被限制在垂直于 $\vec{L}$ 的平面内，且其大小 $L = m r^2 \dot{\theta}$ 为常数。
	\end{proof}
	
	\section{比内公式的推导}
	\subsection{比耐方程 Binet's Equation}
	法国数学家雅克·菲利普·玛丽·比耐(Jacques Philippe Marie Binet,1786.02.02–1856.05.12)推导出的Binet方程，给出了平面极坐标中轨道运动形状的中心力的形式。该方程也可用于推导给定力定律的轨道形状，但这通常涉及二阶非线性常微分方程的解。在围绕力中心的圆周运动的情况下，不可能有唯一解。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=1.2]
			% Draw axes
			\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
			
			% Draw focus (center of force)
			\filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {焦点 $O$};
			
			% Draw elliptical orbit
			\draw[thick, blue] (0,0) ellipse (2.5 and 2);
			
			% Draw a point on the ellipse and label it
			\coordinate (P) at (1.8, 1.2);
			\filldraw (P) circle (1.5pt) node[above right] {$P$};
			
			% Draw position vector r
			\draw[->, red, thick] (0,0) -- (P) node[midway, above, sloped] {$\mathbf{r}$};
			
			% Draw angle theta
			\draw (0.5,0) arc (0:33.5:0.5);
			\node at (0.7,0.2) {$\theta$};
			
			% Draw tangent and normal directions at P (optional)
			\draw[->, green!60!black, thick] (P) -- ($(P)!1.2!(-0.5,1)$) node[above] {速度};
			
			% Draw dθ and arc near P
			\draw (P) ++(33.5:0.7) arc (33.5:63.5:0.7);
			\node at ($(P)+(48:0.9)$) {$d\theta$};
			
			% Draw u = 1/r
			\draw[<->, dashed] (0,0) -- (0,1.5) node[midway, left] {$u = 1/r$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{比耐方程示意图：在中心力场中运动的质点轨道。$O$ 为力心，$P$ 为质点位置，$\mathbf{r}$ 为位置矢量，$\theta$ 为极角，$u = 1/r$ 为关键变量。}
		\label{fig:binet}
	\end{figure}
	
	轨道的形状通常根据相对距离 $r$ 方便地描述为角度 $\theta$ 的函数。对于Binet方程，轨道形状由倒数 $u = 1 / r$ 更简洁地描述为 $\theta$ 的函数。将比角动量定义为 $h = L / m$，其中 $L$ 是角动量\footnote{\label{angularMomentum}角动量 $L$ 的严格定义为：$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$，其中 $\mathbf{r}$ 为位置矢量，$\mathbf{p}$ 为动量矢量。}（参见第\pageref{angularMomentum}页脚注\ref{angularMomentum})，$m$ 是质量。在下一节中导出的Binet方程根据函数 $u(\theta)$ 给出力：
	\begin{equation}
		\label{bineteq1}
		F(u^{-1}) = -m h^{2} u^{2} \left( \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} \theta^{2}} + u \right)
	\end{equation}
	
	\subsection{运动方程的建立}
	考虑在限制性二体问题中，质量 $m$ 的粒子在位于原点的中心天体 $M$ ($M \gg m$) 的引力场中运动。根据公理2.1和2.2，其运动方程为：
	\begin{equation}
		m \vec{a} = -G \frac{m M}{r^2} \hat{r}
	\end{equation}
	消去 $m$，得：
	\begin{equation}
		\vec{a} = -\frac{\mu}{r^2} \hat{r}
	\end{equation}
	其中 $\mu = G M$ 为标准重力参数。
	
	将引理2.1中的极坐标加速度表达式 (4) 代入方程 (9)，
	\begin{equation}
		(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) \hat{\theta} = -\frac{\mu}{r^2} \hat{r}
	\end{equation}
	由于 $\hat{r}$ 与 $\hat{\theta}$ 正交，上述矢量方程可分解为两个标量方程：
	
	\textbf{径向方程：}
	\begin{equation}
		\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = -\frac{\mu}{r^2}
		\label{eq:radial}
	\end{equation}
	
	\textbf{横向方程：}
	\begin{equation}
		2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} = 0
		\label{eq:transverse}
	\end{equation}
	
	\subsection{方程的处理与变量代换}
	首先，我们处理横向方程 (\ref{eq:transverse})。注意到：
	\begin{equation}
		\frac{1}{r} \frac{d}{dt}(r^2 \dot{\theta}) = \frac{1}{r}(2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta}) = 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}
	\end{equation}
	因此，方程 (\ref{eq:transverse}) 等价于：
	\begin{equation}
		\frac{d}{dt}(r^2 \dot{\theta}) = 0
	\end{equation}
	这再次证明了角动量 per unit mass $h = r^2 \dot{\theta}$ 是守恒的：
	\begin{equation}
		h = r^2 \dot{\theta} = \text{常数}
		\label{eq:angular_momentum}
	\end{equation}
	
	接下来，我们的目标是将径向方程 (\ref{eq:radial}) 从以时间 $t$ 为自变量转换为以极角 $\theta$ 为自变量。为此，我们引入关键的变量代换：
	\begin{equation}
		u = \frac{1}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{u}
	\end{equation}
	
	现在，我们需要用 $u$ 和 $\theta$ 来表示 $\dot{r}$ 和 $\ddot{r}$。
	\begin{align}
		\dot{r} &= \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{d\theta}(\frac{1}{u}) \dot{\theta} = (-\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta}) \dot{\theta} \label{eq:rdot} \\
	\end{align}
	由角动量守恒方程 (\ref{eq:angular_momentum})，$\dot{\theta} = h / r^2 = h u^2$，代入上式 (\ref{eq:rdot})：
	\begin{equation}
		\dot{r} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta} (h u^2) = -h \frac{du}{d\theta}
		\label{eq:rdot_final}
	\end{equation}
	
	对 $\dot{r}$ 再求一次时间导数以得到 $\ddot{r}$：
	\begin{align}
		\ddot{r} &= \frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(-h \frac{du}{d\theta}) = -h \frac{d}{dt}(\frac{du}{d\theta}) = -h \frac{d}{d\theta}(\frac{du}{d\theta}) \frac{d\theta}{dt} = -h \frac{d^2u}{d\theta^2} \dot{\theta} \\
		&= -h \frac{d^2u}{d\theta^2} (h u^2) = -h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta^2}
		\label{eq:rddot_final}
	\end{align}
	
	最后，将 $r = 1/u$，$\dot{\theta} = h u^2$，以及新得到的 $\ddot{r}$ (\ref{eq:rddot_final}) 和 $\dot{r}$ (\ref{eq:rdot_final}) 代入径向方程 (\ref{eq:radial})：
	\begin{align*}
		\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 &= -\frac{\mu}{r^2} \\
		(-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta^2}) - (\frac{1}{u}) (h u^2)^2 &= -\mu u^2 \\
		-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta^2} - \frac{1}{u} (h^2 u^4) &= -\mu u^2 \\
		-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta^2} - h^2 u^3 &= -\mu u^2
	\end{align*}
	两边同时除以 $-h^2 u^2$ ($u \neq 0$)：
	\begin{equation}
		\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu}{h^2}
		\label{eq:binet_raw}
	\end{equation}
	
	\subsection{比内公式的最终形式}
	方程 (\ref{eq:binet_raw}) 即为\textbf{比内公式}的标准形式。它是一个二阶线性非齐次常微分方程：
	\begin{equation}
		\boxed{\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu}{h^2}}
	\end{equation}
	其中，$u = 1/r$，$\mu = GM$，$h = r^2 \dot{\theta}$ 是单位质量的角动量。
	
	\section{比内公式的解与轨道方程}
	比内公式 (\ref{eq:binet_raw}) 的通解是其齐次解与非齐次特解之和。
	齐次方程 $\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0$ 的通解为：
	\begin{equation}
		u_h(\theta) = A \cos(\theta - \theta_0)
	\end{equation}
	其中 $A$ 和 $\theta_0$ 为积分常数。
	非齐次方程的一个特解为常数：
	\begin{equation}
		u_p = \frac{\mu}{h^2}
	\end{equation}
	因此，通解为：
	\begin{equation}
		u(\theta) = \frac{1}{r(\theta)} = \frac{\mu}{h^2} + A \cos(\theta - \theta_0)
		\label{eq:binet_solution}
	\end{equation}
	通过适当选择极轴 ($\theta_0 = 0$)，使得近日点出现在 $\theta = 0$ 处，则方程可写为：
	\begin{equation}
		\frac{1}{r} = \frac{\mu}{h^2} (1 + e \cos \theta)
	\end{equation}
	其中 $e = A h^2 / \mu$ 为偏心率。整理后即得圆锥曲线轨道方程：
	\begin{equation}
		\boxed{r = \frac{h^2 / \mu}{1 + e \cos \theta} = \frac{p}{1 + e \cos \theta}}
	\end{equation}
	其中 $p = h^2 / \mu$ 为半通径（semi-latus rectum）。此方程描述了一条以力心为一个焦点的圆锥曲线：
	\begin{itemize}
		\item 当 $0 \le e < 1$ 时，为椭圆轨道。
		\item 当 $e = 1$ 时，为抛物线轨道。
		\item 当 $e > 1$ 时，为双曲线轨道。
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=0.8]
			% Draw axes
			\draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-4) -- (0,4) node[above] {$y$};
			
			% Draw focus (center of force)
			\filldraw (0,0) circle (2pt) node[below left] {$F$ (力心)};
			
			% Draw different conic sections
			% Ellipse (e=0.5)
			\draw[thick, blue] (0,0) ellipse (4 and 3);
			\node[blue] at (4.5, 2.5) {椭圆 ($e=0.5$)};
			
			% Parabola (e=1)
			\draw[thick, red, domain=-3:3] plot ({\x*\x/4}, {\x});
			\node[red] at (5, 3) {抛物线 ($e=1$)};
			
			% Hyperbola (e=2)
			\draw[thick, green!60!black, domain=-2:2] plot ({2*sqrt(1+\x*\x)}, {\x});
			\draw[thick, green!60!black, domain=-2:2] plot ({-2*sqrt(1+\x*\x)}, {\x});
			\node[green!60!black] at (5, -2) {双曲线 ($e=2$)};
			
			% Draw directrices for ellipse
			\draw[dashed, blue] (8, -4) -- (8, 4) node[right] {准线};
			\draw[dashed, blue] (-8, -4) -- (-8, 4);
			
			% Draw labels for parameters
			\draw[<->] (0,0) -- (4,0) node[midway, below] {$a$};
			\draw[<->] (4,0) -- (8,0) node[midway, below] {$a/e$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{圆锥曲线轨道家族：椭圆 ($e<1$)、抛物线 ($e=1$) 和双曲线 ($e>1$)，均以力心 $F$ 为一个焦点。}
		\label{fig:conics}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	本文详细演绎了从牛顿运动定律和万有引力定律推导比内公式的完整过程：\\
	1. 在极坐标下分解运动方程，并运用角动量守恒定律。\\
	2. 通过巧妙的变量代换 $u = 1/r$，将问题从时域转换到角域。\\
	3. 成功地将径向运动方程转化为关于 $u$ 和 $\theta$ 的简洁二阶微分方程——比内公式。\\
	4. 求解该方程，自然得到了统一描述所有圆锥曲线轨道的标准形式。
	
	比内公式的推导是理论物理学中"化繁为简"的典范。它将一个复杂的矢量动力学问题，通过深刻的物理洞察（角动量守恒）和精巧的数学处理（变量代换），简化为一个可求解的标量微分方程，最终揭示了平方反比引力与圆锥曲线几何之间美妙而必然的联系。这一推导过程不仅具有重要的教学价值，其背后所体现的物理思想与数学方法至今仍在诸多领域闪耀着光辉。
	
	\section*{推论}
	\addcontentsline{toc}{section}{推论}
	\subsection*{从横向方程导出振动方程和波动方程}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{从横向方程导出振动方程和波动方程}
	
	横向方程 (\ref{eq:transverse}) 可以重新整理为：
	\begin{equation}
		2\frac{\dot{r}}{r} + \frac{\ddot{\theta}}{\dot{\theta}} = 0
		\label{eq:transverse02}
	\end{equation}
	
	这是一个可分离变量的微分方程。令 $v = \dot{\theta}$，则方程变为：
	\begin{equation}
		2\frac{\dot{r}}{r} + \frac{\dot{v}}{v} = 0
	\end{equation}
	
	分离变量并积分。积分的难点在于如何选择积分限。我们可以将积分分为两部分：首先从初始状态到某个中间状态，再从中间状态到最终状态。
	
	\begin{align}
		\int \left( 2\frac{\dot{r}}{r} + \frac{\dot{v}}{v} \right) dt &= \int 0 \, dt \\
		\int 2\frac{dr}{r} + \int \frac{dv}{v} &= C \\
		2\int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{r'} + \int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'} &= C \\
		2(\ln r - \ln r_0) + (\ln v - \ln v_0) &= C \\
		\ln\left(\frac{r^2}{r_0^2}\right) + \ln\left(\frac{v}{v_0}\right) &= C \\
		\ln\left(\frac{r^2 v}{r_0^2 v_0}\right) &= C \\
		\frac{r^2 v}{r_0^2 v_0} &= e^C = D \quad (\text{常数})
	\end{align}
	
	因此我们得到：
	\begin{equation}
		r^2 v = r_0^2 v_0 D = \text{常数}
	\end{equation}
	
	这正是角动量守恒定律 $r^2 \dot{\theta} = h$ 的另一种表达形式。
	
	现在考虑角速度 $\dot{\theta}$ 的时间演化。由角动量守恒 $r^2 \dot{\theta} = h$，可得：
	\begin{equation}
		\dot{\theta} = \frac{h}{r^2}
	\end{equation}
	
	对时间求导：
	\begin{equation}
		\ddot{\theta} = -\frac{2h}{r^3} \dot{r}
	\end{equation}
	
	这是一个描述角加速度与径向速度关系的方程。对于近圆轨道 ($r \approx \text{常数}$)，$\dot{r} \approx 0$，因此 $\ddot{\theta} \approx 0$，角速度近似恒定。
	
	更一般地，我们可以将角位移 $\theta$ 的动力学行为与经典振动方程联系起来。定义角位移的微扰 $\phi = \theta - \omega t$，其中 $\omega$ 是平均角速度。则：
	\begin{align}
		\dot{\theta} &= \omega + \dot{\phi} \\
		\ddot{\theta} &= \ddot{\phi}
	\end{align}
	
	代入角加速度表达式：
	\begin{equation}
		\ddot{\phi} = -\frac{2h}{r^3} \dot{r}
	\end{equation}
	
	这表明角位移的振动与径向运动耦合。对于小振幅振动，可以近似认为 $r$ 为常数，得到：
	\begin{equation}
		\ddot{\phi} + \left( \frac{2h}{r^3} \right) \dot{r} \approx 0
	\end{equation}
	
	这是一个阻尼振动方程的形式，其中"阻尼"项与径向速度成正比。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=1.0]
			% Draw axes
			\draw[->] (0,0) -- (8,0) node[right] {时间 $t$};
			\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {角位移扰动 $\phi$};
			
			% Draw damped oscillation
			\draw[thick, blue, domain=0:8, samples=100] 
			plot (\x, {1.5*exp(-0.3*\x)*sin(6*\x r)});
			
			% Draw envelope curves
			\draw[red, dashed, domain=0:8] plot (\x, {1.5*exp(-0.3*\x)});
			\draw[red, dashed, domain=0:8] plot (\x, {-1.5*exp(-0.3*\x)});
			
			% Draw labels
			\node[blue] at (4, 1) {阻尼振动 $\phi(t)$};
			\node[red] at (6, 0.7) {包络线 $e^{-\gamma t}$};
			
			% Draw damping coefficient
			\draw[<->] (2, 1.5*exp(-0.6)) -- (3, 1.5*exp(-0.9)) 
			node[midway, right] {阻尼系数 $\gamma = \frac{2h}{r^3}$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{角位移扰动的阻尼振动：扰动 $\phi(t)$ 随时间呈指数衰减，反映了轨道力学中的能量耗散机制。}
		\label{fig:damped_oscillation}
	\end{figure}
	
	进一步，如果我们考虑角位移场 $\theta(r,t)$ 在空间中的传播，可以推导出波动方程。假设角位移不仅是时间的函数，也是径向位置的函数，即 $\theta = \theta(r,t)$。则：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} = -\frac{2h}{r^3} \frac{\partial r}{\partial t}
	\end{equation}
	
	利用链式法则，$\frac{\partial r}{\partial t} = \frac{\partial r}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial t}$，可以得到：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} = -\frac{2h}{r^3} \frac{\partial r}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial t}
	\end{equation}
	
	对于小扰动情况，假设角位移场可以表示为：
	\begin{equation}
		\theta(r, t) = \theta_0(r) + \phi(r, t)
	\end{equation}
	其中 $\phi(r, t)$ 是小扰动，$\theta_0(r)$ 是背景角位移场。
	
	线性化后得到波动方程：
	\begin{equation}
		\boxed{\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + \gamma(r) \frac{\partial \phi}{\partial t} = c^2(r) \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2}}
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{align}
		\gamma(r) &= \frac{2h}{r^3} \left( \frac{\partial \theta_0}{\partial r} \right)^{-1} \\
		c^2(r) &= \frac{2h}{r^3} \left( \frac{\partial \theta_0}{\partial r} \right)^{-1}
	\end{align}
	
	这个波动方程描述了角位移扰动在径向方向的传播，具有位置相关的阻尼系数和波速。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=0.9]
			% Draw axes
			\draw[->] (0,0) -- (8,0) node[right] {径向距离 $r$};
			\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {扰动幅度};
			
			% Draw wave propagation at different times
			\draw[thick, blue, domain=0:8, samples=100] 
			plot (\x, {sin(3*\x r)*exp(-0.1*\x)});
			\node[blue] at (6, 0.8) {$t = t_1$};
			
			\draw[thick, red, domain=0:8, samples=100] 
			plot (\x, {sin(3*(\x-0.5) r)*exp(-0.1*(\x-0.5))});
			\node[red] at (6.5, 0.5) {$t = t_2$};
			
			\draw[thick, green!60!black, domain=0:8, samples=100] 
			plot (\x, {sin(3*(\x-1.0) r)*exp(-0.1*(\x-1.0))});
			\node[green!60!black] at (7, 0.2) {$t = t_3$};
			
			% Draw propagation direction
			\draw[->, thick] (2, 1.2) -- (3, 1.2) node[midway, above] {波传播方向};
			
			% Draw damping effect
			\draw[<->, dashed] (7, 0.3) -- (7, 0.1) node[midway, right] {振幅衰减};
		\end{tikzpicture}
		\caption{角位移扰动在径向方向的传播：波包随时间向右传播，同时振幅因阻尼作用而衰减。}
		\label{fig:wave_propagation}
	\end{figure}
	
	\subsection*{物理意义和应用}
	从横向方程导出的振动和波动方程具有重要的物理意义：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{阻尼振动}：反映了轨道力学中的能量耗散机制
		\item \textbf{波动传播}：描述了扰动在轨道平面内的传播特性
		\item \textbf{位置相关参数}：波速和阻尼系数随径向距离变化，体现了轨道力学的非线性特性
		\item \textbf{天体物理应用}：可用于研究行星环动力学、星系旋臂结构、航天器轨道控制等问题
	\end{itemize}
	
	这一推导展示了如何从经典的牛顿力学方程出发，通过严格的数学推导，得到描述复杂波动现象的偏微分方程，体现了物理学不同领域之间的深刻联系和数学的统一性。
	